Madhy Vichlan Ka Sutra माध्य विचलन का सूत्र

माध्य विचलन का सूत्र

Pradeep Chawla on 12-05-2019

मान लें कि जनसंख्या में निम्नलिखित मान हैं:

2 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 7 , 9. {displaystyle 2,4,4,4,5,5,7,9.} {displaystyle 2,4,4,4,5,5,7,9.}

इसमें कुल आठ डाटा अंक हैं जिसका मध्यमान (या औसत) मान 5 है:

2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 8 = 5. {displaystyle {frac {2+4+4+4+5+5+7+9}{8}}=5.} {displaystyle {frac {2+4+4+4+5+5+7+9}{8}}=5.}

जनसंख्या के मानक विचलन की गणना करने के लिए, सबसे पहले मध्यमान से प्रत्येक डाटा अंक के अंतर का परिकलन करें और प्रतिफल का वर्ग निकालें:

( 2 − 5 ) 2 = ( − 3 ) 2 = 9 a m p ( 5 − 5 ) 2 = 0 2 = 0 ( 4 − 5 ) 2 = ( − 1 ) 2 = 1 a m p ( 5 − 5 ) 2 = 0 2 = 0 ( 4 − 5 ) 2 = ( − 1 ) 2 = 1 a m p ( 7 − 5 ) 2 = 2 2 = 4 ( 4 − 5 ) 2 = ( − 1 ) 2 = 1 a m p ( 9 − 5 ) 2 = 4 2 = 16 {displaystyle {egin{array}{ll}(2-5)^{2}=(-3)^{2}=9amp(5-5)^{2}=0^{2}=0(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1amp(5-5)^{2}=0^{2}=0(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1amp(7-5)^{2}=2^{2}=4(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1amp(9-5)^{2}=4^{2}=16end{array}}} {displaystyle {egin{array}{ll}(2-5)^{2}=(-3)^{2}=9amp(5-5)^{2}=0^{2}=0(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1amp(5-5)^{2}=0^{2}=0(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1amp(7-5)^{2}=2^{2}=4(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1amp(9-5)^{2}=4^{2}=16end{array}}}

उसके बाद इन मानों के योगफल को आंकड़ों की संख्या से विभाजित करें और मानक विचलन ज्ञात करने के लिए इनका वर्गमूल निकालें:

9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 8 = 2. {displaystyle {sqrt {frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{8}}}=2.} {displaystyle {sqrt {frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{8}}}=2.}

इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरण से पता चलता है कि जनसंख्या का मानक विचलन 2 है।

उपरोक्त उदाहरण एक सम्पूर्ण जनसंख्या की कल्पना है। यदि कुछ मूल जनसंख्या से यादृच्छिक नमूना द्वारा 8 मानों को प्राप्त किया जाता है, तो नमूना मानक विचलन के परिकलन में 8 के बजाय 7 से भाग दिया जायेगा। व्याख्या के लिए जनसंख्या के मानक विचलन का आकलन अनुभाग देखें.

परिभाषा

प्रायिकता वितरण या यादृच्छिक परिवर्तनीय

मान लें, X एक यादृच्छिक परिवर्तनीय है जिसका मध्यमान मान μ है:

E ⁡ [ X ] = μ {displaystyle operatorname {E} [X]=mu ,} {displaystyle operatorname {E} [X]=mu ,}

यहां, ऑपरेटर E, X के औसत या प्रत्याशित मान को दर्शाता है। तो, X की मानक विचलन मात्रा है

σ = E ⁡ [ ( X − μ ) 2 ] . {displaystyle sigma ={sqrt {operatorname {E} left[(X-mu )^{2} ight]}}.} {displaystyle sigma ={sqrt {operatorname {E} left[(X-mu )^{2} ight]}}.}

अर्थात्, मानक विचलन σ (सिग्मा), (X − μ)2 के औसत मान का वर्गमूल है।

इस मामले में जहां X, एक परिमित डाटा सेट x 1 , x 2 , … , x N {displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{N}} {displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{N}} से यादृच्छिक मान प्राप्त करता है जिसके प्रत्येक मान में एक ही प्रायिकता है, तो मानक विचलन है

σ = ( x 1 − μ ) 2 + ( x 2 − μ ) 2 + ⋯ + ( x N − μ ) 2 N , {displaystyle sigma ={sqrt {frac {(x_{1}-mu )^{2}+(x_{2}-mu )^{2}+cdots +(x_{N}-mu )^{2}}{N}}},} {displaystyle sigma ={sqrt {frac {(x_{1}-mu )^{2}+(x_{2}-mu )^{2}+cdots +(x_{N}-mu )^{2}}{N}}},}

या, जोड़ संकेतन का प्रयोग करने पर,

σ = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − μ ) 2 , {displaystyle sigma ={sqrt {{frac {1}{N}}sum _{i=1}^{N}(x_{i}-mu )^{2}}},} {displaystyle sigma ={sqrt {{frac {1}{N}}sum _{i=1}^{N}(x_{i}-mu )^{2}}},}

(एकविचारण) प्रायिकता वितरण का मानक विचलन, उसी प्रकार के वितरण वाले यादृच्छिक परिवर्तनीय के मानक विचलन के समान ही होता है। चूंकि इन प्रत्याशित मानों का होना आवश्यक नहीं है, इसलिए सभी यादृच्छिक परिवर्तनीय में मानक विचलन नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक यादृच्छिक परिवर्तनीय का मानक विचलन, जो एक कॉची वितरण का अनुसरण करता है, परिभाषित रहता है क्योंकि इसका प्रत्याशित मान, अपरिभाषित होता है।

सतत यादृच्छिक परिवर्तनीय

सतत वितरण आम तौर पर वितरण के मापदंडों के एक फलन के रूप में मानक विचलन की गणना करने के लिए एक सूत्र प्रदान करता है। साधारणतः, प्रायिकता घनत्व फलन p (x) युक्त एक सतत वास्तविक मूल्य वाले यादृच्छिक परिवर्तनीय X का मानक विचलन

σ = ∫ ( x − μ ) 2 p ( x ) d x {displaystyle sigma ={sqrt {int (x-mu )^{2},p(x),dx}},} {displaystyle sigma ={sqrt {int (x-mu )^{2},p(x),dx}},}

है जहां

μ = ∫ x p ( x ) d x {displaystyle mu =int x,p(x),dx,} {displaystyle mu =int x,p(x),dx,}

और जहां अभिन्न, निश्चित अभिन्न है जो X की श्रेणी पर x श्रेणी का कल्पित मान है।

असतत यादृच्छिक परिवर्तनीय या डाटा सेट

एक असतत यादृच्छिक परिवर्तनीय का मानक विचलन, मध्यमान से इसके मानों का मूल-मध्यमान-वर्ग (RMS) विचलन होता है।

यदि यादृच्छिक परिवर्तनीय X, समान प्रायिकता वाले N मानों x 1 , … , x N {displaystyle extstyle x_{1},dots ,x_{N}} {displaystyle extstyle x_{1},dots ,x_{N}} (जो वास्तविक संख्या हैं) को ग्रहण करता है, तो इसके मानक विचलन σ की गणना निम्न प्रकार से की जा सकती है:

मानों का मध्यमान, x ¯ {displaystyle scriptstyle {overline {x}}} {displaystyle scriptstyle {overline {x}}} ज्ञात करें.

प्रत्येक मान x i {displaystyle x_{i}} {displaystyle x_{i}} के लिए मध्यमान से इसके विचलन ( x i − x ¯ {displaystyle scriptstyle x_{i}-{overline {x}}} {displaystyle scriptstyle x_{i}-{overline {x}}}) की गणना करें.

इन विचलनों के वर्ग की गणना करें.

वर्ग किए गए विचलनों का मध्यमान ज्ञात करें. यह मात्रा, प्रसरण σ 2 है।

प्रसरण का वर्गमूल निकालें.

इस गणना को निम्नलिखित सूत्र द्वारा वर्णित किया जाता है:

σ = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − x ¯ ) 2 {displaystyle sigma ={sqrt {{frac {1}{N}}sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{overline {x}})^{2}}},} {displaystyle sigma ={sqrt {{frac {1}{N}}sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{overline {x}})^{2}}},}

जहां x ¯ {displaystyle scriptstyle {overline {x}}} {displaystyle scriptstyle {overline {x}}}, मान xi का अंकगणितीय मध्यमान है, जो निम्न रूप में परिभाषित है:

x ¯ = x 1 + x 2 + ⋯ + x N N = 1 N ∑ i = 1 N x i . {displaystyle {overline {x}}={frac {x_{1}+x_{2}+cdots +x_{N}}{N}}={frac {1}{N}}sum _{i=1}^{N}x_{i},.} {displaystyle {overline {x}}={frac {x_{1}+x_{2}+cdots +x_{N}}{N}}={frac {1}{N}}sum _{i=1}^{N}x_{i},.}

यदि सभी मानों की प्रायिकता समान न हो, लेकिन मान xi की प्रायिकता pi के समान हो, तो मानक विचलन का परिकलन निम्न प्रकार से की जा सकती है:

σ = ∑ i = 1 N p i ( x i − x ¯ ) 2 ∑ i = 1 N p i {displaystyle sigma ={sqrt {frac {sum _{i=1}^{N}p_{i}(x_{i}-{overline {x}})^{2}}{sum _{i=1}^{N}p_{i}}}},} {displaystyle sigma ={sqrt {frac {sum _{i=1}^{N}p_{i}(x_{i}-{overline {x}})^{2}}{sum _{i=1}^{N}p_{i}}}},} और

s = N ′ ∑ i = 1 N p i ( x i − x ¯ ) 2 ( N ′ − 1 ) ∑ i = 1 N p i {displaystyle s={sqrt {frac {Nsum _{i=1}^{N}p_{i}(x_{i}-{overline {x}})^{2}}{(N-1)sum _{i=1}^{N}p_{i}}}},} {displaystyle s={sqrt {frac {Nsum _{i=1}^{N}p_{i}(x_{i}-{overline {x}})^{2}}{(N-1)sum _{i=1}^{N}p_{i}}}},}

जहां

x ¯ = ∑ i = 1 N p i x i ∑ i = 1 N p i {displaystyle {overline {x}}={frac {sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}}{sum _{i=1}^{N}p_{i}}},} {displaystyle {overline {x}}={frac {sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}}{sum _{i=1}^{N}p_{i}}},}

और N, गैर-शून्य भार तत्वों की संख्या है।

एक डाटा सेट का मानक विचलन, असतत यादृच्छिक परिवर्तनीय के मानक विचलन के समान ही होता है जो डाटा सेट से विधिपूर्वक मानों की कल्पना कर सकता है जहां प्रत्येक मान का बिंदु आधिक्य, डाटा सेट में इसकी बहुलता के समानुपातिक होता है।

उदाहरण

मान लें, हम 3, 7, 7 और 19 मान वाले डाटा सेट का मानक विचलन ज्ञात करना चाहते थे।

चरण 1: 3, 7, 7 और 19 का अंकगणितीय मध्यमान (औसत) ज्ञात करें,

3 + 7 + 7 + 19 4 = 9. {displaystyle {frac {3+7+7+19}{4}}=9.} {displaystyle {frac {3+7+7+19}{4}}=9.}

चरण 2: मध्यमान से प्रत्येक संख्या का विचलन ज्ञात करें,

3 − 9 a m p = − 6 7 − 9 a m p = − 2 7 − 9 a m p = − 2 19 − 9 a m p = 10. {displaystyle {egin{aligned}3-9amp=-67-9amp=-27-9amp=-219-9amp=10.end{aligned}}} {displaystyle {egin{aligned}3-9amp=-67-9amp=-27-9amp=-219-9amp=10.end{aligned}}}

चरण 3: प्रत्येक विचलन का वर्ग निकालें, जो बड़े विचलनों को परिवर्धित करती हैं और ऋणात्मक मानों को धनात्मक में बदल देती है,

( − 6 ) 2 a m p = 36 ( − 2 ) 2 a m p = 4 ( − 2 ) 2 a m p = 4 10 2 a m p = 100. {displaystyle {egin{aligned}(-6)^{2}amp=36(-2)^{2}amp=4(-2)^{2}amp=410^{2}amp=100.end{aligned}}} {displaystyle {egin{aligned}(-6)^{2}amp=36(-2)^{2}amp=4(-2)^{2}amp=410^{2}amp=100.end{aligned}}}

चरण 4: उन वर्गित विचलनों का मध्यमान ज्ञात करें,

36 + 4 + 4 + 100 4 = 36. {displaystyle {frac {36+4+4+100}{4}}=36.} {displaystyle {frac {36+4+4+100}{4}}=36.}

चरण 5: भागफल (वर्गित इकाइयों को पुनः नियमित इकाइयों में परिवर्तित करके) के गैर-ऋणात्मक वर्गमूल लें,

36 = 6. {displaystyle {sqrt {36}}=6.,} {displaystyle {sqrt {36}}=6.,}

तो, समुच्चय का मानक विचलन 6 है। इस उदाहरण से यह भी पता चलता है कि, सामान्य रूप से, मानक विचलन मध्यमान निरपेक्ष विचलन (इस उदाहरण में जिसका मान 5 है) से भिन्न होता है।

ध्यान दें कि यदि उपरोक्त डाटा सेट केवल वृहत्तर जनसंख्या के एक नमूने को दर्शाए, तो जनसंख्या के मानक विचलन का आकलन करने के लिए एक संशोधित मानक विचलन की गणना (नीचे व्याख्या दी गई है) करनी होगी जो इस उदाहरण के लिए 6.93 प्रदान करेगा.

सूत्र का सरलीकरण

वर्गित विचलनों के योगफल की गणना का सरलीकरण निम्न प्रकार से किया जा सकता है।

∑ i = 1 N ( x i − x ¯ ) 2 a m p = ∑ i = 1 N ( x i 2 − 2 x i x ¯ + x ¯ 2 ) a m p = ( ∑ i = 1 N x i 2 ) − ( 2 x ¯ ∑ i = 1 N x i ) + N x ¯ 2 a m p = ( ∑ i = 1 N x i 2 ) − 2 x ¯ ( N x ¯ ) + N x ¯ 2 a m p = ( ∑ i = 1 N x i 2 ) − 2 N x ¯ 2 + N x ¯ 2 a m p = ( ∑ i = 1 N x i 2 ) − N x ¯ 2 . {displaystyle {egin{aligned}sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{overline {x}})^{2}amp={}sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{2}-2x_{i}{overline {x}}+{overline {x}}^{2})amp{}=left(sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2} ight)-left(2{overline {x}}sum _{i=1}^{N}x_{i} ight)+N{overline {x}}^{2}amp{}=left(sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2} ight)-2{overline {x}}(N{overline {x}})+N{overline {x}}^{2}amp{}=left(sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2} ight)-2N{overline {x}}^{2}+N{overline {x}}^{2}amp{}=left(sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2} ight)-N{overline {x}}^{2}.end{aligned}}} {displaystyle {egin{aligned}sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{overline {x}})^{2}amp={}sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{2}-2x_{i}{overline {x}}+{overline {x}}^{2})amp{}=left(sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2} ight)-left(2{overline {x}}sum _{i=1}^{N}x_{i} ight)+N{overline {x}}^{2}amp{}=left(sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2} ight)-2{overline {x}}(N{overline {x}})+N{overline {x}}^{2}amp{}=left(sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2} ight)-2N{overline {x}}^{2}+N{overline {x}}^{2}amp{}=left(sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2} ight)-N{overline {x}}^{2}.end{aligned}}}

मानक विचलन के मूल सूत्र में इसे लागू करने पर प्राप्त होता है:

σ = 1 N ( ( ∑ i = 1 N x i 2 ) − N x ¯ 2 ) = 1 N ( ∑ i = 1 N x i 2 ) − x ¯ 2 . {displaystyle sigma ={sqrt {{frac {1}{N}}left(left(sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2} ight)-N{overline {x}}^{2} ight)}}={sqrt {{frac {1}{N}}left(sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2} ight)-{overline {x}}^{2}}}.} {displaystyle sigma ={sqrt {{frac {1}{N}}left(left(sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2} ight)-N{overline {x}}^{2} ight)}}={sqrt {{frac {1}{N}}left(sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2} ight)-{overline {x}}^{2}}}.}

(औसत के वर्ग से कम वर्गों के औसत) का वर्गमूल निकालकर इसे स्मृति में रखा जा सकता है।

जनसंख्या के मानक विचलन का आकलन

कुछ परिस्थितियों (जैसे मानकीकृत परीक्षण) में व्यक्त सम्पूर्ण जनसंख्या के मानक विचलन को ज्ञात कर सकते हैं जहां जनसंख्या के प्रत्येक सदस्य का नमूना उपलब्ध हो. ऐसे मामलों में जहां ऐसा नहीं किया जा सकता है, वहां मानक विचलन σ का आकलन जनसंख्या से लिए गए एक यादृच्छिक नमूने का परीक्षण करके किया जाता है। कुछ आकलनकर्ता नीचे दिए गए हैं:

नमूने के मानक विचलन के साथ

कभी-कभी प्रयोग किए जाने वाले σ का एक आकलनकर्ता, नमूने का मानक विचलन है जिसे s n द्वारा चिह्नित किया जाता है और जिसे निम्न रूप में परिभाषित किया गया है:

s n = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − x ¯ ) 2 . {displaystyle s_{n}={sqrt {{frac {1}{N}}sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{overline {x}})^{2}}}.} {displaystyle s_{n}={sqrt {{frac {1}{N}}sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{overline {x}})^{2}}}.}

इस आकलनकर्ता में नमूना मानक विचलन (नीचे देखें) की अपेक्षा एक-समान छोटा मध्यमान वर्गित त्रुटि होती है और जब जनसंख्या को आम तौर पर वितरित किया जाता है तब यह अधिकतम संभावित आकलन होता है। लेकिन यह आकलनकर्ता, जब इसे एक छोटे या मामूली आकार वाले नमूने में कार्यान्वित किया जाता है, तब बहुत कम हो जाता है: यह एक पक्षपाती आकलनकर्ता है।

नमूना मानक विचलन के साथ

σ प्रयोग का सर्वाधिक सामान्य आकलनकर्ता एक समायोजित संस्करण, नमूना मानक विचलन है जिसे s द्वारा चिह्नित किया जाता है और निम्न रूप में परिभाषित है:

s = 1 N − 1 ∑ i = 1 N ( x i − x ¯ ) 2 , {displaystyle s={sqrt {{frac {1}{N-1}}sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{overline {x}})^{2}}},} {displaystyle s={sqrt {{frac {1}{N-1}}sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{overline {x}})^{2}}},}

जहां { x 1 , x 2 , … , x N } {displaystyle scriptstyle {x_{1},,x_{2},,ldots ,,x_{N}}} {displaystyle scriptstyle {x_{1},,x_{2},,ldots ,,x_{N}}}, नमूना है और x ¯ {displaystyle scriptstyle {overline {x}}} {displaystyle scriptstyle {overline {x}}}, नमूने का मध्यमान है। इस संशुद्धि (N के बजाय N − 1 का प्रयोग) को बेसेल की संशुद्धि के रूप में जाना जाता है। इस संशुद्धि का कारण यह है कि s 2, अंतर्निहित जनसंख्या के प्रसरण σ2 का एक निष्पक्ष आकलनकर्ता है, यदि वह प्रसरण मौजूद हो और नमूने के मान को प्रतिस्थापन के साथ स्वतंत्रतापूर्वक तैयार किया गया हो. हालांकि, s, मानक विचलन σ का एक निष्पक्ष आकलनकर्ता नहीं है, बल्कि यह जनसंख्या के मानक विचलन के न्यून-आकलन में सहायक है।

ध्यान दें कि शब्द नमूने का मानक विचलन असंशुद्ध आकलनकर्ता (N का प्रयोग करके) के लिए प्रयोग में लाया जाता है जबकि शब्द नमूना मानक विचलन संशुद्ध आकलनकर्ता (N − 1 का प्रयोग करके) के लिए प्रयोग में लाया जाता है। हर N − 1, अवशिष्ट के अदिश में स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या है, ( x 1 − x ¯ , … , x N − x ¯ ) {displaystyle scriptstyle (x_{1}-{overline {x}},,dots ,,x_{N}-{overline {x}})} {displaystyle scriptstyle (x_{1}-{overline {x}},,dots ,,x_{N}-{overline {x}})}.

अन्तःचतुर्थक श्रेणी के साथ

सांख्यिकी

IQR 1.35 {displaystyle {frac { ext{IQR}}{1.35}}} {displaystyle {frac { ext{IQR}}{1.35}}}

(1.35 एक सन्निकटन है) जहां IQR, नमूने का अन्तःचतुर्थक श्रेणी है, σ का संगत आकलन है यदि जनसंख्या को सामान्य रूप से वितरित किया गया हो. अन्तःचतुर्थक श्रेणी IQR, डाटा के तीसरे चतुर्थक और प्रथम चतुर्थक का अंतर है। नमूना मानक विचलन से एक के संबंध में इस आकलनकर्ता की अनन्तस्पर्शी सापेक्ष दक्षता (ARE), 0.37 है। इसलिए सामान्य डाटा के लिए नमूना मानक विचलन से एक का प्रयोग करना बेहतर होता है जब डाटा में अधिक जानकारी होती है तब यह आकलनकर्ता और अधिक कुशल हो सकता है।[4][not in citation given][संदिग्ध – वार्ता]

अन्य आकलनकर्ता

अधिक जानकारी के लिए देखें: Unbiased estimation of standard deviation

हालांकि σ के लिए एक निष्पक्ष आकलनकर्ता को ज्ञात किया जाता है जब यादृच्छिक परिवर्तनीय को सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, सूत्र जटिल होता है और एक मामूली संशुद्धि की फलगणना करता है: अधिक जानकारी के लिए मानक विचलन का निष्पक्ष आकलन देखें. इसके अलावा, निष्पक्षता (शब्द के इस अर्थ में) हमेशा वांछनीय नहीं होता है: एक आकलनकर्ता का पक्षपात देखें.

मानक विचलन के गुण

स्थिरांक c और यादृच्छिक परिवर्तनीय X और Y के लिए:

stdev ⁡ ( X + c ) = stdev ⁡ ( X ) {displaystyle operatorname {stdev} (X+c)=operatorname {stdev} (X),} {displaystyle operatorname {stdev} (X+c)=operatorname {stdev} (X),}

stdev ⁡ ( c X ) = | c | stdev ⁡ ( X ) {displaystyle operatorname {stdev} (cX)=|c|,operatorname {stdev} (X),} {displaystyle operatorname {stdev} (cX)=|c|,operatorname {stdev} (X),}

stdev ⁡ ( X + Y ) = var ⁡ ( X ) + var ⁡ ( Y ) + 2 cov ⁡ ( X , Y ) {displaystyle operatorname {stdev} (X+Y)={sqrt {operatorname {var} (X)+operatorname {var} (Y)+2operatorname {cov} (X,Y)}},} {displaystyle operatorname {stdev} (X+Y)={sqrt {operatorname {var} (X)+operatorname {var} (Y)+2operatorname {cov} (X,Y)}},}