TriBhuj Ka Shetrafal Formula त्रिभुज का क्षेत्रफल फार्मूला

1) समकोण त्रिभुज के लिए प्रक्रिया:

जैसा कि वास्तविक लैब में किया जाता है:

1. एक सम कोण त्रिभुज काटें।
2. सम कोण त्रिभुज का सर्वांगम त्रिभुज काटें।
3. दोनों त्रिभुजों के कर्णों को एक सीध में लाकर एक आयत प्राप्त करें। [चित्र (A)]

जैसा कि सिमुलेटर में किया जाता है:

1. तीन भुजाएं प्रदान कर एक ▲ ABC निर्मित करें। एक समकोण त्रिभुज के लिए जिसकी भुजाएं a, b, c हों और कर्ण c हो, तो a2 + b2 = c2.
2. उसकी प्रतिकृति बनाने के लिए ▲ ABC पर क्लिक करें।
3. प्रतिकृति वाले त्रिभुज को इस तरह रखें कि दोनो त्रिभुजों के कर्ण एक दूसरे को ढक लें। त्रिभुज को घड़ी की दिशा में घुमाने के लिए 'clockwise' बटन का इस्तेमाल करें। त्रिभुज को घड़ी की विपरीत दिशा में घुमाने के लिए 'Anticlockwise' बटन का इस्तेमाल करें।
4. अवलोकन करें।

अवलोकन:

हम देख सकते हैं कि ये दो सर्वांगसम त्रिभुज कर्ण के सहारे एक सीध में लाने पर एक आयत बनाते हैं।

∴ □ ABCD का क्षेत्रफल = 2 x ▲ ABC का क्षेत्रफल

∴ ▲ ABC का क्षेत्रफल = 1/2 x □ ABCD का क्षेत्रफल

= 1/2 x [□ ABCD का आधार X □ ABCD की ऊंचाई]

= 1/2 x [BC x AB]

= 1/2 x ABC का आधार x ABCकी ऊंचाई =1/2 x आधार x ऊंचाई

2) न्यूनकोण त्रिभुज के लिए प्रक्रिया:

जैसा कि वास्तविक लैब में किया जाता है:

1. एक न्यून कोण त्रिभुज काटें और शीर्ष से विपरीत भुजा तक लम्बवत बनाएं।
2. उसके सर्वांगसम एक त्रिभुज काटें और इस त्रिभुज को लम्बवत के सहारे काटें।
3. इन दोनों कटे हुए हिस्सों के कर्णों को दिए गए त्रिभुज के साथ एक समान रेखा में लाएं ताकि आयत बन जाए। [चित्र (B)]

जैसा कि सिमुलेटर में किया जाता है:

1. तीन भुजाएं प्रदान कर एक ▲ ABC निर्मित करें। एक त्रिभुज न्यूनकोण त्रिभुज होता है यदि उसकी सबसे लम्बी भुजा का वर्ग बाकी दोनों भुजाओं के वर्ग के गुणनफल के योग से कम होता है।
2. अगला चरण है A से रेखा BC तक लम्बवत बनाना।
   • उसका प्रयोग करने के लिए 'Tools' में SetSquare पर क्लिक करें।
   • इस set square को खींचें और ऐसी स्थिति में रखें कि बिन्दु आधार BC के लम्बवत हो।
3. अगला चरण है दो प्रतिकृति त्रिभुज क्रमशः ▲ ABO और ▲ AOC बनाना। इन प्रतिकृतियों को बनाने के लिए 'Cut Triangle' बटन पर क्लिक करें।
4. अगला चरण है इन रंगीन त्रिभुजों को उचित स्थिति में रखना।
   • पहले आपको पीले रंग का त्रिभुज रखना है और उसके बाद लाल रंग का त्रिभुज।
   • पीले रंग का त्रिभुज खींचें और उसके कर्ण के सहारे ▲ AOB की भुजा AB पर रखें जो अंततः एक आयत AOBD बनाएगा।
   • लाल रंग का त्रिभुज खींचें और उसके कर्ण के सहारे ▲ AOC की भुजा AC पर रखें जो अंततः एक आयत AOCE बनाएगा।
   • त्रिभुज को घड़ी की दिशा में घुमाने के लिए आप 'clockwise' बटन का इस्तेमाल कर सकते हैं।
   • त्रिभुज को घड़ी की विपरीत दिशा में घुमाने के लिए आप 'Anti-clockwise' बटन का इस्तेमाल कर सकते हैं।
5. अवलोकन देखें।

अवलोकन:

चूंकि □ DBCE, ▲ ABC और दो सर्वांगसम त्रिभुजों ABO तथा AOC से बना है।

∴ □ DBCE का क्षेत्रफल = ▲ ABC का क्षेत्रफल + (▲ ABO का क्षेत्रफल + ▲ AOC का क्षेत्रफल)

= ▲ ABC का क्षेत्रफल + ▲ ABC का क्षेत्रफल

= 2 x ▲ ABC का क्षेत्रफल

▲ ABC का क्षेत्रफल = 1/2 x □ DBCE का क्षेत्रफल

= 1/2 x [□ DBCE का आधार X □ DBCE की ऊंचाई]

= 1/2 x [BC x DB] = 1/2 x [BC x AO]

= 1/2 x त्रिभुज ABC का आधार x त्रिभुज ABC की ऊंचाई = 1/2 x आधार x ऊंचाई

3) अधिक कोण त्रिभुज के लिए:

जैसा कि वास्तविक लैब में किया जाता है:

1. एक अधिक कोण त्रिभुज काटें।
2. इस अधिक कोण त्रिभुज के सर्वांगसम के त्रिभुज काटें।
3. एक समांतर चतुर्भुज प्राप्त करने के लिए दोनों त्रिभुजों की सबसे बड़ी भुजाओं को एक समान रेखा में लाएं। [चित्र (C)]

जैसा कि सिमुलेटर में किया जाता है:

1. उसकी तीन भुजाएं देकर ▲ ABC निर्मित करें।
2. त्रिभुज अधिक कोण त्रिभुज होगा यदि उसकी सबसे लम्बी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्ग के गुणनफल के योग से अधिक हो।
3. उसकी प्रतिकृति निर्मित करने के लिए ▲ ABC पर क्लिक करें।
4. इस प्रतिकृति वाले त्रिभुज को इस तरह रखें कि वह समांतर चतुर्भुज बनाए।
5. त्रिभुज को घड़ी की दिशा में घुमाने के लिए 'clockwise' बटन पर क्लिक करें।
6. त्रिभुज को घड़ी की विपरीत दिशा में घुमाने के लिए 'Anti-clockwise' बटन का इस्तेमाल करें।
7. प्रतिकृति त्रिभुज को इस तरह रखें कि दोनों त्रिभुजों के कर्ण एक दूसरे को ढक लें।
8. अवलोकन देखें।

अवलोकन:

आप देख सकते हैं कि इन दो सर्वांगसम त्रिभुजों का संरेखण करने पर एक समांतर चतुर्भुज बनता है।

समांतर चतुर्भुज के गुण के अनुसार ▲ ABC तथा ▲ ADC सर्वांगसम हैं।

∴ ▱ ABCD का क्षेत्रफल = ▲ ABC का क्षेत्रफल + ▲ ADC का क्षेत्रफल

= 2 x ▲ ABC का क्षेत्रफल

∴ ▲ ABC का क्षेत्रफल = 1/2 x ▱ ABCD का क्षेत्रफल

= 1/2 x [▱ ABCD का आधार X ▱ ABCD की ऊंचाई]

= 1/2 x [BC x ▲ ABC की ऊंचाई]

= 1/2 x ▲ ABC का आधार x ▲ ABC की ऊंचाई = 1/2 x आधार x ऊंचाई